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\documentclass{article}
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% --- PAQUETES ESENCIALES ---
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\usepackage[utf8]{inputenc} % Para reconocer tildes y ñ directamente
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[spanish]{babel} % Configuración para español (fechas, silabeo)
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\usepackage{amsmath} % Matemáticas avanzadas (\text, \operatorname, etc.)
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\usepackage{amssymb} % Símbolos matemáticos (\mathbb)
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\usepackage{geometry} % (Opcional) Para mejorar los márgenes
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% ---------------------------
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\title{Proyecto 1: Métodos numéricos del Z-spline cúbico}
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\author{Reyes Garcia Joel}
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\date{\today}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{abstract}
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En este trabajo se presentan los métodos numéricos asociados a...
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\end{abstract}
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\section{Los Z-splines}
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\subsection{Introducción}
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Los Z-splines constituyen una familia de splines cardinales de soporte
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compacto que preservan momentos discretos y poseen alto orden de
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regularidad. La idea central es construir una base spline
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cuya definición incorpora explícitamente operadores de diferencias
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finitas derivados de desarrollos de Taylor. Su creador,
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Julián T. Becerra-Sagredo, desarrolló esta teoría en dos trabajos clave
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(2003 y 2020), en los cuales se presentan tanto la construcción como
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sus propiedades analíticas y aplicaciones.
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\subsection{Definición cardinal y construcción básica}
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Sea $\{x_j\} = \{j\}$ una malla equiespaciada.
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Los Z-splines se definen mediante un núcleo cardinal $Z_m(x)$ tal que la
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interpolación de un conjunto de datos $\{y_j\}$ está dada por
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\[
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f_m(x) = \sum_{j\in\mathbb{Z}} y_j \, Z_m(x - j).
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\]
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Cada función base $Z_m$ es un polinomio por tramos de grado $2m-1$ y con
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regularidad $C^{m-1}$. El parámetro $m$ determina el orden del spline.
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La construcción impone condiciones de interpolación entre nodos y
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conservación de momentos discretos. Para cada intervalo
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$[j,j+1]$, el polinomio está determinado por un conjunto de condiciones
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de tipo Hermite–Birkhoff derivadas de operadores de diferencias finitas.
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\subsection{Conservación de momentos}
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Una de las propiedades fundamentales es que las Z-splines preservan los
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primeros $2m-1$ momentos discretos. Sea
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\[
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M_k = \sum_j y_j j^k, \qquad k=0,\dots,2m-2,
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\]
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entonces la interpolante satisface
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\[
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\int_{-\infty}^{\infty} x^k f_m(x) \, dx = M_k,
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\]
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lo que asegura que la interpolación no altera estos invariantes
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(discretos o físicos).
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\subsection{Reproducción polinómica}
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El artículo demuestra que las Z-splines reproducen exactamente
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polinomios hasta grado $2m-2$:
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\[
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p(x) = x^n, \qquad n \le 2m-2 \quad \Rightarrow \quad
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f_m(x) = p(x).
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\]
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Esto implica un orden de aproximación
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\[
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\| f - f_m \| = \mathcal{O}(h^{\,2m-1}),
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\]
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cuando $f$ es suficientemente regular.
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\subsection{Soporte compacto y regularidad}
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Cada $Z_m$ tiene soporte compacto mínimo:
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\[
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Z_m(x) = 0 \qquad \text{si } |x| > m,
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\]
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y regularidad
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\[
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Z_m \in C^{m-1}.
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\]
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Esto permite su uso eficiente en contextos numéricos, especialmente en
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métodos de remapeo o mallas adaptativas.
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\subsection{Relación con diferencias finitas}
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Una contribución teórica clave es que los coeficientes de los polinomios
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que forman $Z_m$ coinciden con los coeficientes de operadores de
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diferencias finitas de orden elevado. En particular, se demuestra que
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para derivadas,
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\[
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f_m^{(k)}(x_j) = \sum_{\ell=-m}^m c^{(k)}_{\ell} \, y_{j+\ell},
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\]
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donde los $c^{(k)}_\ell$ son coeficientes de diferencias finitas
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centradas obtenidos por expansión de Taylor.
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\subsection{Límite hacia la función sinc}
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A medida que $m \to \infty$, las Z-splines convergen hacia la función
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ideal de reconstrucción cardinal:
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\[
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Z_m(x) \longrightarrow \operatorname{sinc}(x)
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= \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.
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\]
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Esto establece un vínculo entre splines compactos y teoría de muestreo.
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\subsection{Z-splines en mallas no uniformes}
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Los artículos extienden la teoría a mallas arbitrarias
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$\{x_j\}$ no equidistantes. En ese caso, el núcleo cardinal ya no es
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trasladable, y se construyen polinomios locales mediante matrices de
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diferencias finitas adaptadas a la geometría de los nodos.
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En regiones de frontera se emplean splines ``one-sided'', lo cual permite
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resolver la falta de simetría.
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\subsection{Aplicaciones numéricas}
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Las Z-splines son especialmente útiles en contextos donde es esencial la
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conservación de cantidades físicas discretas:
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\begin{itemize}
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\item métodos de remapeo ALE y semi-Lagrangianos,
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\item interpolaciones conservativas en dinámica de fluidos,
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\item regularización de funciones delta,
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\item remallado adaptativo,
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\item filtrado numérico (denoising) preservando momentos.
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\end{itemize}
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En estas aplicaciones, la preservación de momentos juega un papel
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fundamental para mantener estabilidad física del sistema.
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\subsection{Conclusión}
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Los Z-splines constituyen una herramienta moderna de
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interpolación de gran interés tanto teórico como práctico, especialmente
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en contextos de simulación numérica donde la preservación de invariantes
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es esencial.
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\section{El Z-spline cúbico}
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La función base Z-spline cúbica para datos a intervalos arbitrarios $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ y $a_{4}$
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está dada por:
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\begin{equation} \label{eq:aiz1}
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\widetilde{Z}_{1} (x) = \left\{
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\begin{array}{lcl}
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0 & & x < -a_{1}-a_{2} \\ [0.3cm]
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\left( \frac{a_{2}+a_{1}}{a_{1}} \right) + \left(
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\frac{3a_{2}+a_{1}}{a_{2}a_{1}} \right) x & & \\ [0.1cm]
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||
\quad + \frac{3a_{2}+2a_{1}}{a_{2}a_{1}(a_{2}+a_{1})}
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||
x^2 + \frac{1}{a_{2}a_{1}(a_{2}+a_{1})}x^{3} & & -a_{1}-a_{2} \leq x \leq -a_{2}, \\ [0.3cm]
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||
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||
1- \left( \frac{1}{a_{3}}-\frac{1}{a_{2}} \right) x & & \\ [0.1cm]
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||
\quad - \frac{a_{3}+2(a_{2}+a_{1})}{a_{3}a_{2}(a_{2}+a_{1})} x^2
|
||
- \frac{a_{3}+a_{2}+a_{1}}{a_{3}a_{2}^2(a_{2}+a_{1})} x^3 & & -a_{2} \leq x \leq 0, \\ [0.3cm]
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||
1+ \left( \frac{1}{a_{2}}-\frac{1}{a_{3}} \right) x & & \\ [0.1cm]
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\quad - \frac{a_{2}+2(a_{3}+a_{4})}{a_{2}a_{3}(a_{3}+a_{4})} x^2
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||
+ \frac{a_{2}+a_{3}+a_{4}}{a_{2}a_{3}^2(a_{3}+a_{4})} x^3 & & 0 \leq x \leq a_{3}, \\ [0.3cm]
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||
\left( \frac{a_{3}+a_{4}}{a_{4}} \right) - \left(
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\frac{3a_{3}+a_{4}}{a_{3}a_{4}} \right) x & & \\ [0.1cm]
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\quad + \frac{3a_{3}+2a_{4}}{a_{3}a_{4}(a_{3}+a_{4})} x^2
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||
- \frac{1}{a_{3}a_{4}(a_{3}+a_{4})}x^{3} & & a_{3} \leq x \leq a_{3}+a_{4}, \\ [0.3cm]
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0 & & x > a_{3}+a_{4}.
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\end{array}
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\right.
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\end{equation}
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\subsection{Z-spline cúbico en los extremos de un intervalo}
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\section{Fórmula de integración numérica}
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\section{Fórmula de derivación numérica}
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\section{Convergencia}
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\subsection{Integración}
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\subsection{Derivación}
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\subsection{Interpolación equidistante en 2D}
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\subsection{Interpolación en 1D con puntos arbitrarios}
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\end{document} |